用输入命令规划法和闭环控制法消减残余振动是两种常用方法。闭环控制法需要不断测量机器人的运动状态,从而控制其残余振动[1,2],这类方法需要加入复杂的反馈控制系统,因而在应用中有一定难度,输入命令规划法[3,4],则是构造弹性机器人的运动路径,并加以优化,从而使运动结束后的残余振动减小,但这种方法要在运动过程中实施,故对运动过程本身有一定的影响。对于弹性并联机器人[5]来说,冗余驱动显然可以用来抑制其运动结束后的残余振动,这就是本文采用的第一种方法;同时输入运动规划法可以有效地消减平台的弹性振动,减小输出运动误差,这便形成了本文的第二种方法。

1型弹性并联机器人的动力学方程和残余振动

图1所示为3-RRR型弹性平面并联机器人,由平台和三条腿组成,所有关节均为转动副,平台为刚体,三条腿为弹性杆。文献图1机器人结构和系统坐标通过KED方法建立其运动方程如下

(1)

其中:U∈R18×1——机器人弹性运动的系统坐标阵列;m,k∈r18×18-机器人系统的质量和刚度矩阵;p,q∈r18×1-广义外力和刚体惯性力,q = Mrr——U对应的刚体加速度数组. U由两部分组成,即:U = [UTL,UTE] T,其中UL = (U11,……u15、u21、…u25,u31,…U35) T是腿的弹性运动,UE = (U1,u2,u3)T是腿的弹性运动引起的平台的弹性运动。

[5]

当一个运动过程结束时,机器人的刚体运动停止,但此时的弹性运动仍在继续,因此机器人无法精确定位,此时的弹性运动称为残余振动。在机器人的残余振动期间,Q = 0,M和K保持不变,因此残余振动的方程可以写成

(2)

对于并联机器人来说,输出运动是平台的运动,因此首先要考虑抑制平台Ue的弹性运动,以减小残余振动。

2冗余驱动器,减少残余振动

由于图1所示的3-RRR型机器人的自由度为3,机器人需要三个驱动器,应用于Bi,驱动力为Tθ I (I = 1,3)。冗余驱动就是在这三个驱动之外再增加几个冗余驱动。通过调节冗余驱动器的输入力,可以达到优化目标。本文在Ai中加入三个冗余驱动,驱动力为tα I (I = 1,3),则

Ue可以通过规划来快速降低Tαi。如果通过Newmak逐步积分求解方程(2)的方法在之前的时间是已知的,那么当前时间的U(t)可以通过下面的方程获得

(3)

中间类型

a0、a1和a2的含义可以在参考文献[6]中找到。优化目标是minf = utue(4)

Ke,其中K1∈R15×18,Ke∈R3×18,即Ke是由下三行组成的矩阵,则

(5)

因此,公式(4)可以写成

(6)

(7)

类型:kei-ke的第I列。k?E∈R3×3,则公式(6)可以转化为

(8)

其中Tα = (tα 1,Tα2,Tα3)T,f取最小值的充分条件是f对Tα的导数为零,即

(9)

因此

(10)

将得到的Tα代入p,可以通过等式(3)得到当前时刻的Ue。理论上,由式(10)得到的Tα可以使UE = 0,但这种方法容易使积分发散,所以在实际计算中,为了使积分收敛,可以取为

(11)

其中k为系数0k1,可根据需要选取。数值算例表明,冗余驱动可以在短时间内稳定机器人的残余振动。

3输入运动规划以减少残余振动

当机器人的运动结束后,还可以采用输入运动规划的方法来减小其残余振动。输入运动规划法是给机器人增加一个附加的输入运动,使平台的附加运动与其弹性运动相互抵消,从而获得期望的定位精度。对于没有冗余驱动的机器人,KED方程为

(12)

对于额外的输入运动,机器人系统中有一个R项,因此Q不为零。设机器人的输入位移为θ = (θ 1,θ2,θ3)T,输出位移为Se = (ex,Ey,β)T,对于输入位移变量δ θ,可生成输出位移变量δSe = (δ ex,δEy,δβ)T。因为相对于se而言,δ SE是一个很小的量,所以可以用以下公式近似计算

δSe=Jδθ (13)

其中:j-雅可比矩阵。输入运动规划的目的是将δθ加到机器人的输入位移上,使机器人和Ue产生的δSE相互抵消,即

δSe+Ue=0 (14)

因为用方程(14)直接求解δθ非常困难,所以本文将使用迭代法来得到δθ。具体方法是:(1)在给定时刻,由方程(3)给Ue(将方程(3)中的p变为q);(2)若δ se =-UE,则s ‘ e = se+δse;(3)由方程(13)求δ θ,θ′=θ+δθ;(4)将这个θ′带入机器人刚体运动方程,求出新的M′、K′和U * * R .在解中,刚体的速度和加速度是用近似方法构造的,即

将这些值代入等式(3)以找到新的UE;(5)取为平台真实弹性运动,再取一次,其中w为加权矩阵,判断是否成立(其中ε0为给定误差极值),如果不成立,转到(2)重新计算;如果为真,则结束计算,然后将δ θ作为输入运动的增加值,可以转移到下一个时刻计算。数值算例的求解表明,该方法可以得到满足精度要求的结果。它的优点是不需要改变机器人的结构,缺点是为了保持平台相对静止,它的腿必须做附加运动,附加运动δ θ随时间缓慢衰减。

4个数值例子

以弹性平面并联机器人的结构参数为参考文献[5]中的数值例子,机器人的标称运动用平台上E点的坐标(ex,Ey)和平台角β表示,标称运动为

然后机器人平台在自由状态下的振动如图2所示,其中时间在t > π/5范围内的部分为其残余振动。(1)冗余驱动减少残余振动当t > π/5时,刚体运动结束,机器人采用冗余驱动减少残余振动。图3和图4显示了平台振动和增加的冗余驱动力。

图2自由状态下的平台残余振动

图3冗余驱动时的平台振动

图4冗余驱动器的驱动力

(2)输入运动规划减少残余振动当t > π/5时,机器人采用输入运动规划减少残余振动。w是单位矩阵,ε 0 = 10-6,那么平台的弹性振动εe和要加入的附加输入位移如图5和图6所示。

图5带输入运动规划的平台振动

图6附加输入运动

结论5

本文采用冗余驱动和预输入运动方法来减小弹性平面并联机器人平台的残余振动。这两种方法简单有效。在减少残余振动方面,冗余驱动方法和输入运动规划方法有本质的区别。冗余驱动方式直接抑制了平台的残余弹性振动。输入运动规划规则并不直接抑制平台的振动,而是用腿的附加运动换取平台的相对静止。两者各有千秋,可以根据具体任务选择不同的方法。